诗和远方

布丰投针

18世纪,布丰提出以下问题:设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板,现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针,求针和其中一条木纹相交的概率。

这一方法的步骤是:

1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为a的平行线;

2) 取一根长度为l(l≤a) 的针,随机地向画有平行直线的纸上掷n次,观察针与直线相交的次数,记为m;

3)计算针与直线相交的概率。

布丰本人证明了,这个概率是:

                      tz.jpg

并以此概率,布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法。

如果针的长度等于a/2,那么有利扔出(和木纹相交)的概率为1/π。扔的次数越多,由此能求出越为精确的π的值。

公元1901年,意大利数学家Lazzerini作了34080次投针,相交次数为1808,计算出π的值为3.1415929——准确到小数后6位。

布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子(通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶)。

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